Fondements des mathématiques Volume 3

Résumé éditeur

Ce livre est le troisième volume d'une série qui doit, à terme, couvrir l'ensemble des notions du premier cycle universitaire en mathématiques, tout en débordant largement sur le deuxième cycle. De manière plus générale, cette série d'ouvrages pourra être utile à toute personne s'intéressant aux mathématiques actuelles. Elle devrait, en théorie, être accessible même sans connaissance préalable. Chaque ouvrage se veut à la fois - didactique, avec des preuves très détaillées, des explications informelles, et de nombreux exemples et contre-exemples ; - complet, voire encyclopédique, avec un exposé de nombreuses notions, des théorèmes tous démontrés, et de nombreux détails historiques ; - synthétique, avec en particulier la volonté de multiplier les points de vue. Les quatre premiers volumes traitent des fondements modernes des mathématiques. Ce troisième volume est consacré à : - des compléments de théorie des ensembles, notamment l'étude de la notion d'ordinal et de celle de cardinal, et la présentation de deux exemples de théories alternatives des ensembles ; - des compléments d'algèbre et de mathématiques discrètes, qui concernent les groupes et les anneaux (notamment la notion d'anneau quotient, permettant la construction des anneaux Z/nZ des entiers modulo n), et la théorie élémentaire des nombres (divisibilité dans N et Z, pgcd et ppcm...) ; - l'introduction de différentes théories mathématiques plus avancées : la théorie des modèles, qui étudie les relations pouvant exister entre des théories formelles et certaines structures algébriques, la théorie de la calculabilité, qui s'intéresse à la formalisation du concept d'algorithme et permet de démontrer certains théorèmes dits de limitation (comme les théorèmes d'incomplétude de Gödel), et la théorie des catégories et plus précisément celle des topos, qui est le cadre dans lequel est présentée une autre théorie alternative des ensembles, la théorie élémentaire de la catégorie des ensembles de William Lawvere.